A Study in Predator Prey Model

因为毕业论文的缘故，最近在学习predator-prey model，算是属于evolutionary game theory里面的吧。记得第二学期选Advanced Microeconomics的时候Fabrizio Germano在讲heuristic就在说

some ideas are from biology

当时觉得那个天雷滚滚，三观尽毁，现在看来，感觉是那么的合乎情理，甚至显而易见。果然是沉淀了么，偷笑一个。

其实这个模型（two species case）的基本思路非常之简单，假设生态系统中存在扑食者（predator）跟猎物（prey），他们之间遵循这个一个常微分方程（ordinary differential equation ）:

这其中：

X 代表猎物的数量

T 代表扑食者的数量

g 代表猎物的增长率（缺少扑食者存在的条件下）

$\mu$ 代表扑食效率

$\delta$ 代表消化效率

$\gamma$ 则代表扑食者的死亡率

整个方程组的不动点（？对应的英文是rest point,就是使$\dot{X}=0$, $\dot{T}=0$的点）有两对，第一队显而易见，$X=0$,$T=0$,但这并不是所需要的（扑食者跟猎物都灭绝了，还研究个鸟啊）另外一对则是：$T=\frac{g}{\mu}$ 以及 $X=\frac{\gamma}{\delta}$. 事实上，从图形的角度来看（以X为横坐标，T为纵坐标），运动轨迹正好是一个类圆形。

如果出发点在第三象限，此时猎物的数量在不断的增长而扑食者的数量却在下降，自然地，当到达一定程度后，扑食者开始更加有效地扑食，且扑食者的扑食习惯已经更新并将会持续保持（第四象限）直到某一点上猎物的数量开始下降（第一象限），当扑食者的过度扑食造成猎物数量下降到一定程度后，猎物数量跟扑食者的数量都将下降（第二象限）。然后继续这样循环着。

Lotka跟Volterra第一次提出这个模型，所以也叫L-V predator-prey model。